Математический анализ Примеры

$e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 1

Запишем $e^{4 x} + e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $e^{4 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2.5

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 2.1.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 2.1.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $4 e^{4 x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{4 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.2.2

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2.7

Умножим $4$ на $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.2.3.2.2

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 2.1.2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Этап 2.1.2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Этап 2.1.2.3.9

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Этап 2.2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

График вогнут вверх, так как вторая производная положительна.

График имеет вогнутость вверх.

Этап 5