Математический анализ Примеры

$y = \ln (t^{\frac{3}{2}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Этап 7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $2$ влево от $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $t^{\frac{3}{2}}$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}})}$

Этап 10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 10.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2 t^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Этап 10.1.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{2 t^{1}}$

Этап 10.2

Упростим $2 t^{1}$ .

$\frac{3}{2 t}$