Математический анализ Примеры

$8 u^{\frac{3}{4}} + 4 u^{- \frac{1}{4}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $8 u^{\frac{3}{4}} + 4 u^{- \frac{1}{4}}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [8 u^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d u} [8 u^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d u} [8 u^{\frac{3}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $u$ , производная $8 u^{\frac{3}{4}}$ по $u$ равна $8 \frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}]$ .

$8 \frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (\frac{3}{4} u^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.8

Объединим $\frac{3}{4}$ и $u^{- \frac{1}{4}}$ .

$8 \frac{3 u^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.9

Объединим $8$ и $\frac{3 u^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{8 (3 u^{- \frac{1}{4}})}{4} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24 u^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.11

Перенесем $u^{- \frac{1}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{24}{4 u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.12

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 6}{4 u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $u$ , производная $4 u^{- \frac{1}{4}}$ по $u$ равна $4 \frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 \frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1})$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Этап 3.6.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{\frac{- 5}{4}})$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{5}{4}})$

Этап 3.8

Объединим $u^{- \frac{5}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{u^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} - 4 \frac{u^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 3.10

Объединим $- 4$ и $\frac{u^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4 u^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 3.11

Перенесем $u^{- \frac{5}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4}{4 u^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3.12

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 u^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (u^{\frac{5}{4}})}$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 u^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 1}{u^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}}$