Математический анализ Примеры

$\frac{e^{\frac{u}{10}}}{u^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ имеет вид $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , где $f (u) = e^{\frac{u}{10}}$ и $g (u) = u^{3}$ .

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{{(u^{3})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ имеет вид $f' (g (u)) g' (u)$ , где $f (u) = e^{u}$ и $g (u) = \frac{u}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{u}{10}$ .

$\frac{u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{u^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{u}{10}$ .

$\frac{u^{3} (e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{1}{10}$ является константой относительно $u$ , производная $\frac{u}{10}$ по $u$ равна $\frac{1}{10} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{u^{3} (e^{\frac{u}{10}} (\frac{1}{10} \frac{d}{d u} [u])) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{1}{10}$ и $e^{\frac{u}{10}}$ .

$\frac{u^{3} (\frac{e^{\frac{u}{10}}}{10} \frac{d}{d u} [u]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{e^{\frac{u}{10}}}{10}$ и $u^{3}$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} \frac{d}{d u} [u] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} \cdot 1 - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10}$ на $1$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 5

Умножим $\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$ на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{10}{10} \cdot \frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{10 (\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 \frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 10 (e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 10 e^{\frac{u}{10}} (3 u^{2})}{10 u^{6}}$

Этап 8

Умножим $3$ на $- 10$ .

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ .

$\frac{u^{3} e^{\frac{u}{10}} - 30 u^{2} e^{\frac{u}{10}}}{10 u^{6}}$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $u^{2}$ из $e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $u^{2}$ из $e^{\frac{u}{10}} u^{3}$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

Этап 9.3.1.2

Вынесем множитель $u^{2}$ из $- 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) + u^{2} (- 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Этап 9.3.1.3

Вынесем множитель $u^{2}$ из $u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) + u^{2} (- 30 e^{\frac{u}{10}})$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $e^{\frac{u}{10}}$ из $e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Изменим порядок $e^{\frac{u}{10}}$ и $u$ .

$\frac{u^{2} (u e^{\frac{u}{10}} - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Этап 9.3.2.2

Вынесем множитель $e^{\frac{u}{10}}$ из $u e^{\frac{u}{10}}$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Этап 9.3.2.3

Вынесем множитель $e^{\frac{u}{10}}$ из $- 30 e^{\frac{u}{10}}$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u + e^{\frac{u}{10}} \cdot - 30)}{10 u^{6}}$

Этап 9.3.2.4

Вынесем множитель $e^{\frac{u}{10}}$ из $e^{\frac{u}{10}} u + e^{\frac{u}{10}} \cdot - 30$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{10 u^{6}}$

$\frac{u^{2} e^{\frac{u}{10}} (u - 30)}{10 u^{6}}$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $u^{2}$ и $u^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $u^{2}$ из $u^{2} e^{\frac{u}{10}} (u - 30)$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{10 u^{6}}$

Этап 9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $u^{2}$ из $10 u^{6}$ .

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{u^{2} (10 u^{4})}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{u^{2} (10 u^{4})}$

Этап 9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{\frac{u}{10}} (u - 30)}{10 u^{4}}$