Математический анализ Примеры

$\frac{4}{{(w^{2} + 3)}^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{4}{{(w^{2} + 3)}^{5}}$ по $w$ равна $4 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{5}}]$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{5}}$ в виде ${({(w^{2} + 3)}^{5})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d w} [{({(w^{2} + 3)}^{5})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(w^{2} + 3)}^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 3)}^{5 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$4 \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 3)}^{- 5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{- 5}$ и $g (w) = w^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $w^{2} + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$4 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $w^{2} + 3$ .

$4 (- 5 {(w^{2} + 3)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 5$ на $4$ .

$- 20 ({(w^{2} + 3)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $w^{2} + 3$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (2 w + \frac{d}{d w} [3])$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $w$ , производная $3$ относительно $w$ равна $0$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (2 w + 0)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $2 w$ и $0$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (2 w)$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 20$ .

$- 40 {(w^{2} + 3)}^{- 6} w$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 40 \frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{6}} w$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 40$ и $\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$ .

$\frac{- 40}{{(w^{2} + 3)}^{6}} w$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{40}{{(w^{2} + 3)}^{6}} w$

Этап 4.2.3

Объединим $w$ и $\frac{40}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$ .

$- \frac{w \cdot 40}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 4.2.4

Перенесем $40$ влево от $w$ .

$- \frac{40 w}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$