Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ имеет вид $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , где $f (v) = 5 - v^{2}$ и $g (v) = 5 + v^{2}$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [5 - v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 - v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $v$ , производная $5$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [- v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- v^{2}$ по $v$ равна $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- (2 v)) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $5 + v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $v$ , производная $5$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (2 v)}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 2 \cdot 5 - 2 (- v^{2})) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10 v + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 10 v - 2 v^{2} v - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $v^{2}$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Перенесем $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3.2

Умножим $v$ на $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 10 v - 2 v^{1 + 2} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $v^{2}$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Перенесем $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v \cdot v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2

Умножим $v$ на $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v^{1} v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{1 + 2})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{3})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.2

Объединим противоположные члены в $- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $- 2 v^{3}$ и $2 v^{3}$ .

$\frac{- 10 v - 10 v + 0}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $- 10 v - 10 v$ и $0$ .

$\frac{- 10 v - 10 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $10 v$ из $- 10 v$ .

$\frac{- 20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$