Математический анализ Примеры

$v^{2} \sqrt{2 v - 5}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 v - 5}$ в виде ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ имеет вид $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ , где $f (v) = v^{2}$ и $g (v) = {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{2} \frac{d}{d v} [{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ имеет вид $f' (g (v)) g' (v)$ , где $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ и $g (v) = 2 v - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 v - 5$ .

$v^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 v - 5$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$v^{2} (\frac{{(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 8.3

Перенесем ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $v^{2}$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 9

По правилу суммы производная $2 v - 5$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2 v$ по $v$ равна $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 12

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 13

Поскольку $- 5$ является константой относительно $v$ , производная $- 5$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 14.2

Объединим $\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$\frac{v^{2} \cdot 2}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 14.3

Перенесем $2$ влево от $v^{2}$ .

$\frac{2 \cdot v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 14.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 14.5

Перепишем это выражение.

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 v)$

Этап 16

Перенесем $2$ влево от ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$

Этап 17

Объединим $\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перенесем ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 17.2

Чтобы записать $2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Умножим ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перенесем ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{2} + 2 v ({(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{1}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Упростим $2 v {(2 v - 5)}^{1}$ .

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v - 5)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v \cdot v + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2.1.2

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.2.1

Перенесем $v$ .

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 (v \cdot v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2.1.2.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2.2

Добавим $v^{2}$ и $4 v^{2}$ .

$\frac{5 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3

Вынесем множитель $5 v$ из $5 v^{2} - 10 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Вынесем множитель $5 v$ из $5 v^{2}$ .

$\frac{5 v (v) - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3.2

Вынесем множитель $5 v$ из $- 10 v$ .

$\frac{5 v (v) + 5 v (- 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3.3

Вынесем множитель $5 v$ из $5 v (v) + 5 v (- 2)$ .

$\frac{5 v (v - 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$