Математический анализ Примеры

$(3 x^{3} - x + 1) (4 - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{3} - x + 1$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x^{3} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $3$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + 0)$

Этап 2.15

Добавим $9 x^{2} - 1$ и $0$ .

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 x^{3} x - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 (x^{1} x^{3}) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{1 + 3} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.4

Добавим $1$ и $3$ .

$- 6 x^{4} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x \cdot x + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.11

Умножим $9$ на $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.12

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.13

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.13.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.13.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.14

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 - x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.5.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + 1 x^{2}$

Этап 3.5.16

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + x^{2}$

Этап 3.5.17

Добавим $36 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 37 x^{2} - 9 x^{4} - 4$

Этап 3.5.18

Добавим $2 x^{2}$ и $37 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 9 x^{4} - 4$

Этап 3.5.19

Вычтем $9 x^{4}$ из $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 4$