Математический анализ Примеры

$\ln (\cos (w - 1))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = \ln (w)$ и $g (w) = \cos (w - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (w - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (w - 1)$ .

$\frac{1}{\cos (w - 1)} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ в $\sec (w - 1)$ .

$\sec (w - 1) \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $w - 1$ .

$\sec (w - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d w} [w - 1])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d w} [w - 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $w - 1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \frac{d}{d w} [w - 1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $w - 1$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Этап 4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $w$ , производная $- 1$ относительно $w$ равна $0$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + 0))$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \cdot 1)$

Этап 4.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$ .

$- \sec (w - 1) \sin (w - 1)$

Этап 5.2

Выразим $\sec (w - 1)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{1}{\cos (w - 1)} \sin (w - 1)$

Этап 5.3

Объединим $\sin (w - 1)$ и $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ .

$- \frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$

Этап 5.4

Переведем $\frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$ в $\tan (w - 1)$ .

$- \tan (w - 1)$