Математический анализ Примеры

$w^{3} \ln (5 w)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ имеет вид $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ , где $f (w) = w^{3}$ и $g (w) = \ln (5 w)$ .

$w^{3} \frac{d}{d w} [\ln (5 w)] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = \ln (w)$ и $g (w) = 5 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 w$ .

$w^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$w^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 w$ .

$w^{3} (\frac{1}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{5 w}$ и $w^{3}$ .

$\frac{w^{3}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $w^{3}$ и $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\frac{w \cdot w^{2}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $w$ из $5 w$ .

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $w$ , производная $5 w$ по $w$ равна $5 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w^{2}}{5} (5 \frac{d}{d w} [w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $5$ и $\frac{w^{2}}{5}$ .

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.4.2.2

Разделим $w^{2}$ на $1$ .

$w^{2} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$w^{2} \cdot 1 + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.6

Умножим $w^{2}$ на $1$ .

$w^{2} + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$w^{2} + \ln (5 w) (3 w^{2})$

Этап 3.8

Изменим порядок членов.

$w^{2} + 3 w^{2} \ln (5 w)$