Математический анализ Примеры

$g (t) = t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{t^{3}}$ в виде ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{3}$ .

$2 t - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 t - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{3}$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.6

Перемножим экспоненты в ${(t^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t - (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.6.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$2 t - (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 t - (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.8

Умножим $t^{- 6}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $t^{2}$ .

$2 t - (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 t - (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.8.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$2 t - (- 3 t^{- 4}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.9

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Этап 2.10

Умножим $\frac{1}{t^{3}}$ на $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + 0$

Этап 2.11

Добавим $3 t^{- 4}$ и $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t + 3 \frac{1}{t^{4}}$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{t^{4}}$ .

$2 t + \frac{3}{t^{4}}$