Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{t^{2}}{4})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = \frac{t^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t^{2}}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{t^{2}}{4}} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{t^{2}}{4}$ .

$1 \frac{4}{t^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Этап 3

Умножим $\frac{4}{t^{2}}$ на $1$ .

$\frac{4}{t^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t^{2}}{4}$ по $t$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{4}{t^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4}{t^{2}}$ .

$\frac{4}{4 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{t^{2}} (2 t)$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\frac{2}{t^{2}} t$

Этап 7.2

Объединим $\frac{2}{t^{2}}$ и $t$ .

$\frac{2 t}{t^{2}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $t$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $t$ из $2 t$ .

$\frac{t \cdot 2}{t^{2}}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot 2}{t \cdot t}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t \cdot 2}{t \cdot t}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{t}$