Математический анализ Примеры

$f (t) = 5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [5 t^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t^{5}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $5$ .

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{3}}$ в виде $t^{\frac{3}{2}}$ .

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $t^{\frac{1}{2}}$ .

$25 t^{4} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$