Математический анализ Примеры

$g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2} (3 t^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $3$ влево от ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2}$ и $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $2 t^{2} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Этап 5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + 0)))$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $4 t$ и $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t)))$

Этап 5.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (8 (2 t^{2} - 1) t))$

Этап 6

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $t$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t \cdot t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Этап 6.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1} t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1 + 2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Этап 6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2}) + 8 \cdot - 1))$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2})) + t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{3} (16 t^{2})) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.3

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.3.3

Добавим $2$ и $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.4

Перенесем $16$ влево от $t^{5}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (16 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.5

Умножим $16$ на $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Этап 7.4.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 8)$

Этап 7.4.7

Перенесем $- 8$ влево от $t^{3}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (- 8 \cdot t^{3})$

Этап 7.4.8

Умножим $- 8$ на $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} - 24 t^{3}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t {(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Этап 7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t ((2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1))$

Этап 7.6.2

Развернем $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1))$

Этап 7.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1))$

Этап 7.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 7.6.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1)$

Этап 7.6.3.2

Вычтем $2 t^{2}$ из $- 2 t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 4 t^{2} + 1)$

Этап 7.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4}) + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Этап 7.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Этап 7.6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 1$

Этап 7.6.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Этап 7.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.1

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.1.1

Перенесем $t^{4}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Этап 7.6.6.1.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Этап 7.6.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Этап 7.6.6.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Этап 7.6.6.2

Умножим $6$ на $4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Этап 7.6.6.3

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t) + 6 t$

Этап 7.6.6.3.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t^{1}) + 6 t$

Этап 7.6.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{2 + 1} + 6 t$

Этап 7.6.6.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{3} + 6 t$

Этап 7.6.6.4

Умножим $6$ на $- 4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t$

Этап 7.7

Добавим $48 t^{5}$ и $24 t^{5}$ .

$72 t^{5} - 24 t^{3} - 24 t^{3} + 6 t$

Этап 7.8

Вычтем $24 t^{3}$ из $- 24 t^{3}$ .

$72 t^{5} - 48 t^{3} + 6 t$