Математический анализ Примеры

$- \cot (t - e^{- t})$

Этап 1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \cot (t - e^{- t})$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$ .

$- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cot (t)$ и $g (t) = t - e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $t - e^{- t}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t - e^{- t}$ .

$- (- \csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Этап 3.2

Умножим $\csc^{2} (t - e^{- t})$ на $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $t - e^{- t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{- t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + 1 e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.2.2

Умножим $e^{- t}$ на $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot 1)$

Этап 5.4

Умножим $e^{- t}$ на $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t})$