Математический анализ Примеры

$A \sin (t) + \cos (k t)$

Этап 1

По правилу суммы производная $A \sin (t) + \cos (k t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [A \sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$ .

$\frac{d}{d t} [A \sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [A \sin (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $A$ является константой относительно $t$ , производная $A \sin (t)$ по $t$ равна $A \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$A \cos (t) + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\cos (k t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = k t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $k t$ .

$A \cos (t) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [k t]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$A \cos (t) - \sin (u) \frac{d}{d t} [k t]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $k t$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) \frac{d}{d t} [k t]$

Этап 3.2

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $k t$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) (k \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) (k \cdot 1)$

Этап 3.4

Умножим $k$ на $1$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) k$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$A \cos (t) - k \sin (k t)$