Математический анализ Примеры

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Этап 1

По правилу суммы производная $a (1 - e^{- k t}) + b$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $t$ , производная $a (1 - e^{- k t})$ по $t$ равна $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $1 - e^{- k t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{- k t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - k t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.6

Поскольку $- k$ является константой относительно $t$ , производная $- k t$ по $t$ равна $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.10

Умножим $e^{- k t}$ на $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 2.11

Добавим $0$ и $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Этап 3

Поскольку $b$ является константой относительно $t$ , производная $b$ относительно $t$ равна $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $a e^{- k t} k$ и $0$ .

$a e^{- k t} k$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$