Математический анализ Примеры

$83 - 16 \ln (t + 1)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $83 - 16 \ln (t + 1)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [83] + \frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [83] + \frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$

Этап 1.2

Поскольку $83$ является константой относительно $t$ , производная $83$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $t$ , производная $- 16 \ln (t + 1)$ по $t$ равна $- 16 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$0 - 16 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t + 1$ .

$0 - 16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$0 - 16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t + 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Этап 2.7

Умножим $\frac{1}{t + 1}$ на $1$ .

$0 - 16 \frac{1}{t + 1}$

Этап 2.8

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{t + 1}$ .

$0 + \frac{- 16}{t + 1}$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{16}{t + 1}$

Этап 3

Вычтем $\frac{16}{t + 1}$ из $0$ .

$- \frac{16}{t + 1}$