Математический анализ Примеры

$\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 18 t^{2} - 9 t + 2$ и $g (t) = {(1 - 4 t)}^{3}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $18 t^{2} - 9 t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.3

Поскольку $18$ является константой относительно $t$ , производная $18 t^{2}$ по $t$ равна $18 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $18$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $t$ , производная $- 9 t$ по $t$ равна $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.8

Умножим $- 9$ на $1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.9

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + 0) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 3.10

Добавим $36 t - 9$ и $0$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = 1 - 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 4 t$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 4 t$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 {(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель ${(1 - 4 t)}^{2}$ из ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель ${(1 - 4 t)}^{2}$ из ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9)$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель ${(1 - 4 t)}^{2}$ из $- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель ${(1 - 4 t)}^{2}$ из ${(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель ${(1 - 4 t)}^{2}$ из ${(1 - 4 t)}^{6}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 7

По правилу суммы производная $1 - 4 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 8

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (0 + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [- 4 t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 10

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4 t$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (- 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 11

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \cdot 1}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $12$ на $1$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 13.2

Объединим $2$ и $\frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$ .

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2))}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2}) + 12 (- 9 t) + 12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Развернем $(1 - 4 t) (36 t - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 (36 t - 9) - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.2.1.1

Умножим $36 t$ на $1$ .

$\frac{2 (36 t + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.1.2

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t \cdot t - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.1.4

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.2.1.4.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 (t \cdot t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.1.4.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.1.5

Умножим $- 4$ на $36$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.1.6

Умножим $- 9$ на $- 4$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} + 36 t) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.2.2

Добавим $36 t$ и $36 t$ .

$\frac{2 (72 t - 9 - 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (72 t) + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.4.1

Умножим $72$ на $2$ .

$\frac{144 t + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.4.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{144 t - 18 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.4.3

Умножим $- 144$ на $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.5

Умножим $18$ на $12$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (216 t^{2}) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.6

Умножим $216$ на $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.7

Умножим $- 9$ на $12$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (- 108 t) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.8

Умножим $- 108$ на $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.9

Умножим $2 (12 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.9.1

Умножим $12$ на $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 \cdot 24}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.1.9.2

Умножим $2$ на $24$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.2

Вычтем $216 t$ из $144 t$ .

$\frac{- 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.3

Добавим $- 18$ и $48$ .

$\frac{- 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.3.4

Добавим $- 288 t^{2}$ и $432 t^{2}$ .

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Этап 14.4

Изменим порядок членов.

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Этап 14.5

Вынесем множитель $6$ из $144 t^{2} - 72 t + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Вынесем множитель $6$ из $144 t^{2}$ .

$\frac{6 (24 t^{2}) - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Этап 14.5.2

Вынесем множитель $6$ из $- 72 t$ .

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Этап 14.5.3

Вынесем множитель $6$ из $30$ .

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Этап 14.5.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t)$ .

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Этап 14.5.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)$ .

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t + 5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$