Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{t} (8 - t)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}} (8 - t)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ и $g (t) = 8 - t$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [8 - t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $8 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{\frac{1}{3}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [- t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- \frac{d}{d t} [t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 1) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$t^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $t^{\frac{1}{3}}$ .

$- 1 \cdot t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.6.3

Перепишем $- 1 t^{\frac{1}{3}}$ в виде $- t^{\frac{1}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 10

Перенесем $t^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- t^{\frac{1}{3}} + 8 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.2

Объединим $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ и $t$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.3

Перенесем $t^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11.2.4

Умножим $t$ на $t^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $t$ на $t^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3}$

Этап 11.2.4.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 11.2.5

Чтобы записать $- t^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.6

Объединим $- t^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.9

Вычтем $t^{\frac{1}{3}}$ из $- 3 t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$