Математический анализ Примеры

$500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$

Этап 1

По правилу суммы производная $500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

$\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [500 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $500$ является константой относительно $t$ , производная $500 t$ по $t$ равна $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Этап 2.3

Умножим $500$ на $1$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{4200}{π}$ и $\sin (\frac{π t}{12})$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}]$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{4200}{π}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}$ по $t$ равна $\frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$ .

$500 + \frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = \frac{π t}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Этап 3.4

Поскольку $\frac{π}{12}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π t}{12}$ по $t$ равна $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Этап 3.6

Умножим $\frac{π}{12}$ на $1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{π}{12})$

Этап 3.7

Объединим $\cos (\frac{π t}{12})$ и $\frac{π}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} \cdot \frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$

Этап 3.8

Умножим $\frac{4200}{π}$ на $\frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$ .

$500 + \frac{4200 (\cos (\frac{π t}{12}) π)}{π \cdot 12}$

Этап 3.9

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$500 + \frac{4200 \cos (\frac{π t}{12}) π}{12 \cdot π}$

Этап 3.10

Сократим общий множитель $4200$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Вынесем множитель $12$ из $4200 \cos (\frac{π t}{12}) π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Этап 3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 (π)}$

Этап 3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Этап 3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Сократим общий множитель.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Этап 3.11.2

Разделим $350 \cos (\frac{π t}{12})$ на $1$ .

$500 + 350 \cos (\frac{π t}{12})$