Математический анализ Примеры

$\frac{x^{4}}{x - 12}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x - 12$ .

$\frac{(x - 12) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{(x - 12) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $x - 12$ .

$\frac{4 \cdot (x - 12) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $4$ на $- 12$ .

$\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{4} - 48 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $- 48 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)}{{(x - 12)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 16)}{{(x - 12)}^{2}}$