Математический анализ Примеры

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4} - 27 x^{2}$ и $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 27 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27 x^{2}$ по $x$ равна $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 (2 x)) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 27$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из $- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из $(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 8

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 (x^{4} - 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 27 x^{2})) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Развернем $(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{2} x - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x \cdot x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x^{1} x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{1 + 2} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.5

Умножим $4$ на $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.6

Умножим $- 54$ на $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.2

Вычтем $36 x^{3}$ из $- 54 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.1.5

Умножим $- 27$ на $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вычтем $4 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 0 + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.2.2

Добавим $- 90 x^{3} + 486 x$ и $0$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.3.3

Добавим $- 90 x^{3}$ и $108 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x^{3} + 486 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x^{3}$ .

$\frac{18 x (x^{2}) + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.4.2

Вынесем множитель $18 x$ из $486 x$ .

$\frac{18 x (x^{2}) + 18 x (27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.4.3

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x (x^{2}) + 18 x (27)$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{3}}$

Этап 10.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{3}}$

Этап 10.5.3

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$