Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} + 27}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} + 27$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2 + 3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Перенесем $3$ влево от $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{3 x^{5} - (x^{3} + 27) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{3} + 27) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{5} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot 27) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{2} x^{3}) - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{2 + 3} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 3$ на $27$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.2

Вычтем $3 x^{5}$ из $3 x^{5}$ .

$\frac{0 - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.3

Вычтем $81 x^{2}$ из $0$ .

$\frac{- 81 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 81 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{6}}$

Этап 7.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Этап 7.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Этап 7.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 81}{x^{4}}$

Этап 7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{81}{x^{4}}$