Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} - 4 x}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x^{2} - 4)]$

Этап 4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x^{2} - 4)]$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x^{2} - 4)]$

Этап 4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x^{2} - 4)]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x^{2} - 4)]$

Этап 4.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.5

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 8

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.3.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.2.6.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.6.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.8

Чтобы записать $2 x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.9

Объединим $2 x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.11

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.12

Добавим $4 x^{\frac{3}{2}}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$