Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - x - 2$ и $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(x - 2) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.6

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Вычтем $4 x$ из $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + 1 x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 2 + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 5 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 3.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$1$