Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - \ln (\frac{10}{x})}{7 x^{2} + 5 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - \ln (\frac{10}{x})$ и $g (x) = 7 x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - \ln (\frac{10}{x})] - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - \ln (\frac{10}{x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (\frac{10}{x})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{10}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{1}{\frac{10}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (1 \frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 5

Умножим $\frac{x}{10}$ на $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 6

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - \frac{x}{10} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - 10 \frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.2

Объединим $- 10$ и $\frac{x}{10}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{- 10 x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $- 10$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 10 x$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.3.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 7.4

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x (- x^{- 2})) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + 1 x \cdot x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 9.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x \cdot x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 10

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{1} x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{1 - 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 11

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 12

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 14

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5 \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5 \cdot 1)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 17

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 18

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Развернем $(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x^{2} (2 x + \frac{1}{x}) + 5 x (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x^{2} (2 x) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x^{2} (2 x) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{7 \cdot 2 x^{2} x + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 \cdot 2 x^{1 + 2} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7 \cdot 2 x^{3} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.3

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{2}$ .

$\frac{14 x^{3} + x (7 x) \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{14 x^{3} + x (7 x) \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 x \cdot x + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 (x \cdot x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 x^{2} + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.7

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.8.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + x \cdot 5 \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + x \cdot 5 \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.2.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- - \ln (\frac{10}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} + 1 \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.3.2

Умножим $\ln (\frac{10}{x})$ на $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} + \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.4

Развернем $(- x^{2} + \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x + 5) + \ln (\frac{10}{x}) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.3

Умножим $- 1$ на $14$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + 14 \ln (\frac{10}{x}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.6

Упростим $14 \ln (\frac{10}{x})$ путем переноса $14$ под логарифм.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln ({(\frac{10}{x})}^{14}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.7

Применим правило умножения к $\frac{10}{x}$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{10^{14}}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.8

Возведем $10$ в степень $14$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.9

Умножим $\ln (\frac{10}{x}) \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.5.9.1

Изменим порядок $\ln (\frac{10}{x})$ и $5$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + 5 \cdot \ln (\frac{10}{x})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.9.2

Упростим $5 \cdot \ln (\frac{10}{x})$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln ({(\frac{10}{x})}^{5})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.10

Применим правило умножения к $\frac{10}{x}$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10^{5}}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.1.5.11

Возведем $10$ в степень $5$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.2

Объединим противоположные члены в $14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $14 x^{3}$ из $14 x^{3}$ .

$\frac{7 x + 10 x^{2} + 5 + 0 - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.2.2

Добавим $7 x + 10 x^{2} + 5$ и $0$ .

$\frac{7 x + 10 x^{2} + 5 - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.3

Вычтем $5 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$\frac{7 x + 5 x^{2} + 5 + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.2.4

Изменим порядок множителей в $7 x + 5 x^{2} + 5 + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})$ .

$\frac{7 x + 5 x^{2} + 5 + x \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Этап 19.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5 x^{2} + x \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) + 7 x + 5 + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$