Математический анализ Примеры

$- \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ в виде ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 2}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$- (- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 ({(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot 0$

Этап 4.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ на $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + 0$

Этап 4.10.2

Добавим $- 2 {(1 - x)}^{- 3}$ и $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 - x)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$