Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x^{2} + 1}$ в виде ${(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 7.2

Объединим ${(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 7.3

Перенесем ${(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Этап 8

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 11

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (8 x + 0)$

Этап 13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (8 x)$

Этап 13.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 13.3

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 13.4

Объединим $\frac{- 8}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 8 x}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.5

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 (- 4 x)}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 x)}{2 ({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 4 x)}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$