Математический анализ Примеры

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + \tan (x)$ и $g (x) = 1 - \tan (x)$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $1 - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 4.5.2

Умножим $1 + \tan (x)$ на $1$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим противоположные члены в $1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Добавим $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ и $\tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1 \sec^{2} (x) + 0 + 1 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Добавим $1 \sec^{2} (x)$ и $0$ .

$\frac{1 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3.2.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3.3

Добавим $\sec^{2} (x)$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$