Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ в виде ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + e^{- x}$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2.2

Умножим ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ на $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ на $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в ${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Этап 6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Этап 6.3

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$