Математический анализ Примеры

$\frac{1}{107} \cdot {(2 x^{4} - 2)}^{101}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{107}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{107} \cdot {(2 x^{4} - 2)}^{101}$ по $x$ равна $\frac{1}{107} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 2)}^{101}]$ .

$\frac{1}{107} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 2)}^{101}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{101}$ и $g (x) = 2 x^{4} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{4} - 2$ .

$\frac{1}{107} (\frac{d}{d u} [u^{101}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 2])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 101$ .

$\frac{1}{107} (101 u^{100} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 2])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{4} - 2$ .

$\frac{1}{107} (101 {(2 x^{4} - 2)}^{100} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 2])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $101$ и $\frac{1}{107}$ .

$\frac{101}{107} ({(2 x^{4} - 2)}^{100} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 2])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим ${(2 x^{4} - 2)}^{100}$ и $\frac{101}{107}$ .

$\frac{{(2 x^{4} - 2)}^{100} \cdot 101}{107} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 2]$

Этап 3.2.2

Перенесем $101$ влево от ${(2 x^{4} - 2)}^{100}$ .

$\frac{101 \cdot {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 2]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} (8 x^{3} + 0)$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $8 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} (8 x^{3})$

Этап 3.8.2

Объединим $8$ и $\frac{101 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107}$ .

$\frac{8 (101 {(2 x^{4} - 2)}^{100})}{107} x^{3}$

Этап 3.8.3

Умножим $101$ на $8$ .

$\frac{808 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107} x^{3}$

Этап 3.8.4

Объединим $\frac{808 {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107}$ и $x^{3}$ .

$\frac{808 {(2 x^{4} - 2)}^{100} x^{3}}{107}$

Этап 3.8.5

Изменим порядок множителей в $808 {(2 x^{4} - 2)}^{100} x^{3}$ .

$\frac{808 x^{3} {(2 x^{4} - 2)}^{100}}{107}$