Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ в виде ${(1 - \cos (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \cos (x)$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.5.2

Умножим ${(1 - \cos (x))}^{- 2}$ на $1$ .

${(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

${(1 - \cos (x))}^{- 2} (- \sin (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - \cos (x))}^{2}} (- \sin (x))$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{{(1 - \cos (x))}^{2}}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{{(1 - \cos (x))}^{2}}$