Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ в виде ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5 x + 6$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.6

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

Этап 3.7

Добавим $2 x + 5$ и $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ .

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Разложим $x^{2} + 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $5$ .

$2, 3$

Этап 4.6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило умножения к $(x + 2) (x + 3)$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $- 2 x - 5$ на $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.11

Перепишем $- (2 x + 5)$ в виде $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$