Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt[8]{x}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[8]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{8}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}]$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{8} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{8}}]$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{8}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{8} - 1}$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}}$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{8} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 8}{8}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{1}{8} x^{\frac{- 1 - 8}{8}}$

Этап 6.2

Вычтем $8$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{8} x^{\frac{- 9}{8}}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{9}{8}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$ на $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{9}{8}} \cdot 8}$

Этап 8.2.2

Перенесем $8$ влево от $x^{\frac{9}{8}}$ .

$- \frac{1}{8 x^{\frac{9}{8}}}$