Математический анализ Примеры

$\frac{3 x^{2} - x}{{(2 x - 1)}^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{2} - x$ и $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{({(2 x - 1)}^{5})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 1)}^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{5 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1 \cdot 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{4}$ из ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{4}$ из ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1)$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{4}$ из $- 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{4}$ из ${(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{4}$ из ${(2 x - 1)}^{10}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2} - x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Развернем $(2 x - 1) (6 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.2.2

Вычтем $6 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.3

Умножим $3$ на $- 10$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.2

Вычтем $30 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{2} - 8 x + 1 + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.2.3

Добавим $- 8 x$ и $10 x$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 18 x^{2}$ .

$\frac{- (18 x^{2}) + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$\frac{- (18 x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (18 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.8

Перепишем $- (18 x^{2} - 2 x - 1)$ в виде $- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Этап 12.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18 x^{2} - 2 x - 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$