Математический анализ Примеры

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7}{5 x^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7}{5 x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.5

Объединим $\frac{6}{2}$ и $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 2.6.2.4

Разделим $3 x$ на $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{7}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7}{5 x^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x - \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x - \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{- 3})$

Этап 3.10

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$3 x + 2 (\frac{7}{5}) x^{- 3}$

Этап 3.11

Объединим $2$ и $\frac{7}{5}$ .

$3 x + \frac{2 \cdot 7}{5} x^{- 3}$

Этап 3.12

Умножим $2$ на $7$ .

$3 x + \frac{14}{5} x^{- 3}$

Этап 3.13

Объединим $\frac{14}{5}$ и $x^{- 3}$ .

$3 x + \frac{14 x^{- 3}}{5}$

Этап 3.14

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + \frac{14}{5 x^{3}}$