Математический анализ Примеры

$\frac{3000}{x + 3600 x^{- 1}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3000$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3000}{x + 3600 x^{- 1}}$ по $x$ равна $3000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3600 x^{- 1}}]$ .

$3000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3600 x^{- 1}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x + 3600 x^{- 1}}$ в виде ${(x + 3600 x^{- 1})}^{- 1}$ .

$3000 \frac{d}{d x} [{(x + 3600 x^{- 1})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x + 3600 x^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3600 x^{- 1}$ .

$3000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3600 x^{- 1}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3600 x^{- 1}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3600 x^{- 1}$ .

$3000 (- {(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3600 x^{- 1}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $3000$ .

$- 3000 ({(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3600 x^{- 1}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 3600 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3600 x^{- 1}]$ .

$- 3000 {(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3600 x^{- 1}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3000 {(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3600 x^{- 1}])$

Этап 3.4

Поскольку $3600$ является константой относительно $x$ , производная $3600 x^{- 1}$ по $x$ равна $3600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- 3000 {(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} (1 + 3600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 3000 {(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} (1 + 3600 (- x^{- 2}))$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $3600$ .

$- 3000 {(x + 3600 x^{- 1})}^{- 2} (1 - 3600 x^{- 2})$