Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{3 x - 1}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3 x - 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

$2 \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(3 x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $3 x - 1$ на $1$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $3$ и $0$ .

$2 \frac{3 x - 1 - x \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$2 \frac{0 - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$2 \frac{- 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}})$

Этап 3.8.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(3 x - 1)}^{2}}$