Математический анализ Примеры

$\frac{100}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{100}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}$ в виде ${(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 1}$ .

$100 \frac{d}{d x} [{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 + 49 e^{- 0.13 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + 49 e^{- 0.13 x}$ .

$100 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$100 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 49 e^{- 0.13 x}$ .

$100 (- {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $100$ .

$- 100 ({(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 + 49 e^{- 0.13 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}]$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}])$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}]$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}]$

Этап 3.5

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49 e^{- 0.13 x}$ по $x$ равна $49 \frac{d}{d x} [e^{- 0.13 x}]$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (49 \frac{d}{d x} [e^{- 0.13 x}])$

Этап 3.6

Умножим $49$ на $- 100$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.13 x}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 0.13 x$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.13 x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.13 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 0.13 x$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} \frac{d}{d x} [- 0.13 x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 0.13$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.13 x$ по $x$ равна $- 0.13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} (- 0.13 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Умножим $- 0.13$ на $- 4900$ .

$637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} \cdot 1)$

Этап 5.4

Умножим $e^{- 0.13 x}$ на $1$ .

$637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} e^{- 0.13 x}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} e^{- 0.13 x}$ .

$637 e^{- 0.13 x} {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2}$

Этап 6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$637 e^{- 0.13 x} \frac{1}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $637 e^{- 0.13 x} \frac{1}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$ и $637$ .

$\frac{637}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}} e^{- 0.13 x}$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{637}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$ и $e^{- 0.13 x}$ .

$\frac{637 e^{- 0.13 x}}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$