Математический анализ Примеры

$\frac{1 - x}{1 + x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - x$ и $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + x) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.6.3

Перепишем $- 1 (1 + x)$ в виде $- (1 + x)$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - x - (1 - x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - x - 1 \cdot 1 - - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 \cdot 1 - - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 - - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 + 1 x}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 + x}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $- 1 - x - 1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{- 1 + 0 - 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(1 + x)}^{2}}$