Математический анализ Примеры

$\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \sqrt{x})}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{x^{2} x}}{3}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \sqrt{x})}{3}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{3}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{3}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{3}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{3}]$

Этап 3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$

Этап 4

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 10

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2}$

Этап 12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6}$

Этап 13

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6}$

Этап 14

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}}$