Математический анализ Примеры

$\frac{2}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{2} - 4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$2 (- {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 ({(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} x$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} x$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} x$

Этап 5.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$