Математический анализ Примеры

$\frac{8 x^{5} - x^{2} + 8}{3 - x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 8 x^{5} - x^{2} + 8$ и $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{5} - x^{2} + 8] - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x^{5} - x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{5}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - (2 x) + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + 0) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $40 x^{4} - 2 x$ и $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $3 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.12

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.14

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 1 (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.14.2

Умножим $8 x^{5} - x^{2} + 8$ на $1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 2.16

Перенесем $2$ влево от $8 x^{5} - x^{2} + 8$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 \cdot (8 x^{5} - x^{2} + 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (2 (8 x^{5}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Развернем $(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (40 x^{4} - 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $40$ на $3$ .

$\frac{120 x^{4} + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{2} x^{4} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 (x^{4} x^{2}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{4 + 2} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $- 1$ на $40$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{2} x + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{1 + 2} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x \cdot x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x^{1} x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{1 + 5}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{6}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.1.7

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 0 + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 6 x$ и $16 x$ .

$\frac{120 x^{4} - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Добавим $- 40 x^{6}$ и $16 x^{6}$ .

$\frac{120 x^{4} - 24 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2 x$ из $- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 24 x^{6}$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $120 x^{4}$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3})$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 x^{5}$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $60 x^{3}$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3})$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.11

Перепишем $- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ в виде $- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ .

$\frac{2 x (- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.13

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$