Математический анализ Примеры

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x^{4} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4} + 8$ .

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 2.5

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

Этап 2.6.2

Умножим $12$ на $2$ .

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $3$ на $24$ .

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Этап 3.3.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Этап 3.3.3

Умножим $24$ на $8$ .

$72 x^{7} + 192 x^{3}$