Математический анализ Примеры

$\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x^{3} - 7)}^{4}$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{3} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + 0)) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2})) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3} x^{2}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 6

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2 + 3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ из $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ из $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ из $- 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

Этап 9.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ из $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4) - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

Этап 9.1.2

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 \cdot x^{3} - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} - - 7)}{2 x^{6}}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

Этап 9.1.5

Вычтем $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{2 x^{6}}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{4}}$