Математический анализ Примеры

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{h}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ по $x$ равна $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + h$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 3.3

Поскольку $h$ является константой относительно $x$ , производная $h$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

Этап 3.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{5}{h}$ и ${(x + h)}^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Этап 4.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{- 5}{h}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

Этап 4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

Этап 4.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$