Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(x^{2} + 1)}^{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{2}$ и $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.2.2

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $3 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x)$

Этап 3.6.2

Объединим $2$ и $\frac{3}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{x^{2} + 1} x$

Этап 3.6.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{x^{2} + 1} x$

Этап 3.6.4

Объединим $\frac{6}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$