Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2 - 1}}$

Этап 1

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{1}}]$

Этап 2

Упростим.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 1$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 11.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Этап 11.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$