Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.12

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.14

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 2 x + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 2 x + 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x + 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Добавим $- 4 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.6

Развернем $(- x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.8

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 2 x - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.8

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.9

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 2 + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 2 x^{2} - 2 x + 2$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2} + 0 + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.4

Добавим $- 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1^{2})}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{4 (1^{2} - x^{2})}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - 2 x + 1^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.4.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

Этап 3.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

Этап 3.4.4.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}}$

Этап 3.4.4.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + {(- 1)}^{4}}$

Этап 3.4.4.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 3.4.5

Разложим $x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(1 - x)}^{4}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 - x$ и ${(1 - x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $1 - x$ из $4 (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{(1 - x) (4 (1 + x))}{{(1 - x)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $1 - x$ из ${(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 - x) (4 (1 + x))}{(1 - x) {(1 - x)}^{3}}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - x) (4 (1 + x))}{(1 - x) {(1 - x)}^{3}}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (1 + x)}{{(1 - x)}^{3}}$